Autor: Sérgio Henrique Maciel
Resumo:
O terceiro item da lista de problemas apresentada por Hilbert em 1900 questiona se dados dois poliedros e de mesmo volume, é possível que façamos uma divisão de em poliedros menores que possam ser rearranjados para formar . A solução que apresentaremos envolve a definição de um valor que é invariante sob divisões de um poliedro em poliedros menores e rearranjo em outro poliedro. Esse Invariante, que recebe o nome de Invariante de Dehn, é um elemento do grupo abeliano , dado pelo somatório de certos tensores associados a cada aresta do poliedro. Vamos partir de padrões na forma de se dividir poliedros em poliedros ainda menores para motivar essa construção do Invariante de Dehn e forneceremos uma demonstração do fato de que esse objeto é mesmo um invariante. Finalmente, usaremos isso para atribuir alguma resposta ao Terceiro Problema de Hilbert. Terminaremos com uma discussão breve sobre a extensão desse problema para o e espaços não euclidianos, nos quais ainda há perguntas em aberto, bem como as principais áreas que estranhamente se relacionam com a teoria que surge do estudo desse problema.