Resumo: Um dos mais conhecidos problemas em aberto da Análise Funcional é o problema do subespaço invariante (PSI): dado um espaço vetorial normado E, para cada operador linear limitado T:E-> E existe algum subespaço fechado não trivial M de E tal que T(M) ⊂ M? Devido a existência de operadores universais, o PSI pode ser resolvido provando que todo subespaço invariante minimal de um operador universal é unidimensional. Neste trabalho, apresentamos a formulação que está em aberto para o PSI e então provamos uma equivalência para esse problema via operadores universais.
Resumo: Este trabalho apresenta uma síntese da teoria das Aproximações Diofantinas, partindo do contexto clássico na reta real até a sua extensão geométrica para o corpo dos números p-ádicos. Inicialmente, discutimos como resultados clássicos estabelecem a base para boas aproximações racionais nos reais, um problema tratado via frações contínuas. Em seguida, exploramos o análogo p-ádico dessa teoria. Uma vez que as frações contínuas não se traduzem de forma elementar para os p-ádicos, introduzimos o método de Kurt Mahler, por uma interpretação mais moderna utilizando reticulados. Pela ação do grupo modular SL(2, Z) no semiplano complexo superior, relacionamos os números p-ádicos a pontos do domínio fundamental; o que nos permite obter os melhores aproximantes neste contexto.
Resumo: Neste trabalho, investigamos uma versão perturbada da métrica de Funk clássica no disco unitário, definida como a soma da métrica de Funk com uma 1-forma dependente de um vetor a. Primeiramente, demonstramos que G define uma métrica de Randers sempre que ∥a∥ < 1. Em seguida, utilizando a equação de Hamel, provamos que G é projetivamente plana e obtemos uma expressão explícita para a função distância induzida d_G. Mostramos que d_G não é simétrica nem invariante por translações ou rotações, em contraste com a distância de Funk clássica. Além disso, analisamos dois tipos de “circunferências” associadas a G, provando que as do tipo 1 são sempre elípticas, enquanto as do tipo 2 podem ser elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos parâmetros envolvidos. Por fim, interpretamos G como solução de um problema de navegação de Zermelo e apresentamos fórmulas explícitas para os dados de navegação correspondentes (h,W). Esses resultados estendem a geometria clássica da métrica de Funk e revelam novos comportamentos geométricos sob perturbações do tipo Randers.
Resumo: Para ε > 0, a ε-entropia mede quanta informação é necessária para descrever um subconjunto totalmente limitado de um espaço métrico até uma precisão ε. A apresentação objetiva apresentar esse e outros conceitos e calcular a ε-entropia de alguns espaços.
Resumo: A classificação de álgebras de dimensão finita é um problema em aberto. O objetivo deste trabalho é classificar essas estruturas para o caso particular de álgebras semissimples.
Resumo: Neste trabalho será apresentada a teoria do grau topológico como ferramenta da análise não linear para investigar a existência de soluções em dimensão finita de equações do tipo f(x) = y. Em muitos problemas, especialmente de equações diferenciais, não é possível determinar explicitamente as soluções, o que motiva o uso de métodos topológicos. Inicialmente, será introduzido o grau topológico de Brouwer em dimensão finita, destacando suas propriedades fundamentais, especialmente a de invariância homotópica e o Teorema do Ponto Fixo. Em seguida, mostra-se que essa teoria não se estende diretamente para dimensão infinita, pois existe uma aplicação contínua na bola unitária em l^2 que não possui ponto fixo. Essa falha está relacionada à estrutura topológica desses espaços, dado que a esfera infinito-dimensional é contrátil, e quaisquer aplicações contínuas são homotópicas. Como o grau é invariante por homotopia, isso implicaria que todas as aplicações teriam o mesmo valor de grau. Dessa forma, este trabalho se restringe ao estudo do caso de dimensão finita.
Resumo: Os teoremas de ponto fixo são resultados fundamentais na teoria matemática com aplicações em diversas áreas, como Análise, Topologia e Economia. Neste projeto estudamos os teoremas do ponto fixo de Brouwer e Kakutani com o objetivo de demonstrar o célebre teorema de existência do Equilíbrio de Nash. Esse resultado, provado por John Nash utilizando o teorema de Kakutani, revolucionou a Teoria dos Jogos e Economia ao conectar o conceito abstrato de ponto fixo a modelos centrais da teoria econômica.
Resumo: Na geometria hiperbólica, a distância tende ao infinito quando nos aproximamos da borda do disco ou do eixo real do semiplano superior de Poincaré. Essa característica levanta a questão: Como definir rigorosamente o infinito hiperbólico? O objetivo deste trabalho é demonstrar, a partir da métrica e das isometrias, que a fronteira desses modelos representa o infinito hiperbólico e que essa interpretação é uma característica intrínseca do plano hiperbólico, independente do modelo escolhido.
Resumo: Neste trabalho iremos apresentar um estudo sistemático da geometria local de estruturas geométricas em variedades Riemannianas, com ênfase em estruturas especiais como G_2, Spin(7) e U(m). O objetivo principal é expor fórmulas de Taylor de segunda ordem para os tensores que definem tais estruturas, em coordenadas normais adaptadas, evidenciando os mecanismos geométricos que governam sua variação local. Diferentemente do caso clássico da métrica Riemanniana, cuja expansão local depende exclusivamente da curvatura, mostramos que, para estruturas geométricas gerais, a oscilação local de seus tensores definidores é controlada, de maneira essencial, pela torção intrínseca, juntamente com a curvatura. Utilizando o operador diamante, que descreve a ação infinitesimal de endomorfismos sobre tensores, obtemos uma formulação unificada para uma H-estrutura qualquer. Além disso, investigamos regimes de rigidez nos quais a fórmula de Taylor se simplifica. Mostramos que, sob certas condições globais impostas à variedade, a anulação de certos termos associados à torção, incluindo o laplaciano bruto do tensor definidor ou condições de harmonicidade da estrutura, força o desaparecimento da torção intrínseca, implicando que a estrutura seja paralela. Esses resultados evidenciam uma interação entre a geometria local codificada pela expansão de Taylor e fenômenos globais de rigidez. O trabalho destaca, assim, o papel unificador da torção intrínseca e do operador diamante na compreensão da geometria local de estruturas especiais, abrindo caminho para aplicações e generalizações em contextos atuais, como, por exemplo, as identidades de Kahler generalizadas para o caso quase-Kahler. Além disso, as fórmulas desenvolvidas neste projeto, possuem aplicação direta nos ditos fluxos de Ricci harmônicos. De fato, os termos de segunda ordem da fórmula de Taylor para estruturas geométricas são utilizados para a definição da EDO que gera os fluxos em questão.
Resumo: Redes neurais profundas desempenham papel central em problemas modernos de aprendizado de máquina. Recentemente, observou-se que certas arquiteturas podem ser interpretadas como sistemas dinâmicos discretos e, em determinados regimes, como discretizações de equações diferenciais ordinárias. Neste trabalho, desenvolvido no contexto da Iniciação Científica em Sistemas Dinâmicos, investigamos essa conexão, enfatizando como conceitos clássicos da teoria qualitativa de EDOs podem contribuir para a compreensão matemática da estabilidade da informação aprendida em redes neurais profundas.
Resumo: A formação de ranqueamentos emerge da necessidade de diversas áreas em tomar-se uma decisão. Neste projeto, mostramos que pode-se obter um ranqueamento dos elementos de um conjunto parcialmente ordenado, abreviadamente, poset, e a distribuição de probabilidade desse ranqueamento, levando à esperança, a partir do conjunto de todas as extensões lineares da ordem parcial correspondente.
Resumo: A compreensão da dinâmica elétrica de disparo em neurônios é essencial para o estudo de diversas enfermidades cerebrais. Na busca por melhor compreender esse fenômeno biológico altamente variável, aplicamos conceitos da teoria de probabilidades de Kolmogorov, integração estocástica e cálculo de Itô para o entendimento rigoroso de modelos probabilísticos que descrevem o disparo neuronal. Mais especificamente, exploramos três modelos Leaky Integrate-and-Fire estocásticos com diferentes estruturas de confinamento e difusão. Como contribuição central deste trabalho, desenvolvemos uma abordagem computacional para a simulação do processo de disparo, que contempla a comparação dos modelos explorados sob mesma dinâmica média de disparos e configuração paramétrica bioinspirada.
